Question

对于二项式（1-x）¹⁰．求：
（1）展开式的中间项是第几项？写出这一项；
（2）求展开式中除常数项外，其余各项的系数和；
（3）写出展开式中系数最大的项．

Answer

（1）由题意可知：r=0，1，2…11，展开式共11项，所以 中间项为第6项，利用二项展开式的通项公式求出第6项即可；
（2）设（1-x）10=a+a1x+…a10x10通过赋值法即可求得所求的其余各项的系数和a1+…a10=-1，
（3）展开式中中间项T6的系数为负，从而得出展开式中系数最大的项T5和T7，利用二项展开式的通项公式求出第5，7项即可．
【解析】
（1）由题意可知：r=0，1，2…11，展开式共11项，
所以 中间项为第6项：T6=C105（-x）5=-252x5…（4分）
（2）设（1-x）10=a+a1x+…a10x10
令x=1得：a+a1+…a10=0；
令x=0得：a=1；
所求的其余各项的系数和a1+…a10=-1，
（3）展开式中中间项T6的系数为负，
∴展开式中系数最大的项T5和T7，
T5=C104x4=210x4=T7．