Question

已知数列{a_n}（n∈N^*）满足：a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*）．定义：使a₁a₂…a_k为整数的k值（k∈N^*）叫“理想数”，则区间[1，2009]内所有“理想数”的和是    ．（注：必要时可利用公式）

Answer

根据换底公式：，把an=logn+1（n+2）（n∈N*）代入a1a2…ak并且化简转化为 为整数m，即k+2=2m，
m∈N*，令m=1，2，3，…，10，可求得区间[1，2009]内的所有“理想数“的和．
【解析】
根据换底公式：，把an=logn+1（n+2）（n∈N*）代入a1a2…ak有
 =m，m∈N*，
∴k+2=2m，m∈N*．
k分别可取22-2，23-2，24-2…，最大值2m-2≤2009，m最大可取10，
故和为（22-2）+（23-2）+（24-2）+…+（210-2）=2026．
故答案为：2026．