Question

已知函数f（x）=．
（1）求为数列{a_n}的通项公式；
（2）令T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）²ⁿ⁺¹a_2na_2n+1，求T_n．
（3）令b_n=对一切n∈N^*成立，求最小正整数m．

Answer

（1）根据题意列出递推公式，再由等差数列的定义求通项公式an．
（2）根据式子的特点进行变形，然后由（1）知数列为等差数列求Tn．
（3）把an代入bn整理后再裂项，然后求数列{bn}的前n和sn，再用放缩法和不等式恒成立问题，求m的值．
【解析】
（1）∵∴为公差的等差数列
又a1=1，∴…（4分）
（2）Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…+（-1）2n+1a2na2n+1=a2（a1-a3）+a4（a3-a5）+…+a2n（a2n-1-a2n+1）==…（12分）
（3）当n≥2时，
又∴Sn=b1+b2+…+bn=
=…（9分）∵对n∈N*成立．
即．递增，
当b→∞时，且．∴．
∴最小正整数m=2017…（12分）