Question

已知f（x）=ln（x+1），，
（Ⅰ）若b=2，且h（x）=f（x-1）-g（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
（Ⅱ）若a=0，b=1时，求证：f（x）-g（x）≤0对于x∈（-1，+∞）恒成立；
（III）证明：若0＜x＜y，则．

Answer

（I）求出h（x）的导函数，由于h（x）存在单调递减区间等价于h′（x）＜0有解，通过对二次项系数的讨论，求出a的范围．
（II）构造函数φ（x），求出φ（x）的导数，列出x，φ′（x），φ（x）的变化情况表，求出φ（x）的最大值，证出不等式．
（III）作差，利用对数的运算性质化简差，利用（II）的结论，证出要证的不等式．
【解析】
（Ⅰ）b=2时，
∵h（x）有单调递减区间，∴h′（x）＜0有解，即有解，
∵x＞0，∴ax2+2x-1＞0有解，．（2分）
①a≥0时合题意
②a＜0时，△=4+4a＞0，即a＞-1，
∴a的取值范围是（-1，+∞）．（4分）
（Ⅱ）设ϕ（x）=f（x）-g（x）=ln（x+1）-x
．

x （-1，0） （0，+∞）
ϕ′（x） + -
ϕ（x） ↗ 最大值 ↘

∵当x=0时，ϕ（x）有最大值0∴ϕ（x）≤0恒成立．
即f（x）-g（x）≤0对于x∈（-1，+∞）恒成立．（8分）
（III）
=
=．（10分）
当0＜x＜y时，，
由（2）知．（12分）
等号在，即x=y时成立．
而y＞x＞0，所以成立．（14分）