Question

已知f（x）=x³+ax²+bx+c，在x=1与x=-2时，都取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）若x∈[-3，2]都有f（x）＞恒成立，求c的取值范围．

Answer

（1）求出f′（x）并令其=0得到方程，把x=-1和x=2代入求出a、b即可；
（2）求出函数的最小值为f（1），要使不等式恒成立，既要证f（1）＞，即可求出c的取值范围．
【解析】
（1）f′（x）=3x2+2ax+b，
由题意：即
解得
（2）由（Ⅰ）知，f′（x）=3x2+3x-6
令f′（x）＜0，解得-2＜x＜1；
令f′（x）＞0，解得x＜-2或x＞1，
∴（x）的减区间为（-2，1）；增区间为（-∞，-2），（1，+∞）．
∴x∈[-3，2]时
∴当x=1时，f（x）取得最小值-+c，
∴f（x）min=-+c＞-得或