Question

若函数f（x）在定义域（-1，1）内可导，且f′（x）＜0；又对任意a、b∈（-1，1）且a+b=0时恒有f（a）+f（b）=0，
（1）判断函数奇偶性
（2）解不等式f（1-m）+f（1-m²）＞0．

Answer

（1）由已知中f′（x）＜0，我们易得在区间（-1，1）上为减函数，结合a+b=0时恒有f（a）+f（b）=0，我们易得f（-x）=-f（x），进而得到答案．
（2）由（1）的结论，我们易根据函数的奇偶性及函数的单调性和定义域，构造出满足条件的不等式组，解不等式组即可得到答案．
【解析】
（1）∵f′（x）＜0；
∴f（x）在（-1，1）上是减函数（2分）
∵a、b∈（-1，1）且a+b=0，恒有f（a）+f（b）=0，
∴f（x）在（-1，1）上是奇函数（5分）
（2）f（1-m）+f（1-m2）＞0⇔f（1-m）＞-f（1-m2）=f（m2-1）．（7分）
∴（10分）
解得：（13分）
所以原不等式的解集为（14分）