Question

已知函数，f（x）的导函数是f′（x）．对任意两个不相等的正数x₁、x₂，证明：
（Ⅰ）当a≤0时，；
（Ⅱ）当a≤4时，|f′（x₁）-f′（x₂）|＞|x₁-x₂|．

Answer

（1）将x1，x2代入整理，再由基本不等式可证．
（2）先对函数f（x）进行求导，将x1，x2代入整理变形，转化为证明对任意两个不相等的正数x1，x2，有恒成立，从而得证．
【解析】
证明：（Ⅰ）由
得=
而①
又（x1+x2）2=（x12+x22）+2x1x2＞4x1x2
∴②
∵
∴
∵a≤0，
aln ≥aln（③
由①、②、③得（x12+x22）++aln ＞（）2++aln，
即．
（Ⅱ）证法一：由，得
∴=
下面证明对任意两个不相等的正数x1，x2，有恒成立
即证成立
∵
设，
则，
令u′（x）=0得，列表如下：

∴
∴对任意两个不相等的正数x1，x2，恒有|f'（x1）-f'（x2）|＞|x1-x2|
证法二：由，
得
∴=
∵x1，x2是两个不相等的正数
∴
设，u（t）=2+4t3-4t2（t＞0）
则u′（t）=4t（3t-2），列表：

∴即
∴
即对任意两个不相等的正数x1，x2，恒有|f′（x1）-f′（x2）|＞|x1-x2|