Question

已知直线l₁：x-y+C₁=0，，l₂：x-y+C₂=0，l₃：x-y+C₃=0，…，l_n：x-y+C_n=0（其中C₁＜C₂＜C₃＜…＜C_n），当n≥2时，直线l_n-1与l_n间的距离为n．
（1）求C_n；
（2）求直线l_n-1：x-y+C_n-1=0与直线l_n：x-y+C_n=0及x轴、y轴围成图形的面积．

Answer

（1）原点O到l1的距离d1=1，由点到直线的距离公式求出O到ln的距离：dn =1+2+…+n，据Cn=dn，可求Cn 的值．
（2）由这组平行线的斜率等于1知，围成的图形是个等腰直角三角形，设直线ln：x-y+Cn=0交x轴于点M，交y轴于点N，S△OMN=|OM|•|ON|=（Cn）2，把Cn 的值代入，同理求直线ln-1：x-y+Cn-1=0与x轴、y轴围成图形的面积，从而可求得结果．
【解析】
（1）由已知条件可得l1：x-y+2=0，则原点O到l1的距离d1=1，
由平行直线间的距离可得原点O到ln的距离dn为：1+2+…+n=，
∵Cn= dn，∴Cn=．     …（6分）
（2）设直线ln：x-y+Cn=0交x轴于点M，交y轴于点N，
则△OMN的面积S△OMN=Sn=|OM|•|ON|=（Cn）2=，
同理直线ln-1：x-y+Cn-1=0与x轴、y轴围成图形的面积，故所求面积为n3．…..（12分）