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如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=a,.∠ABC=60°,平...

如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=a,.∠ABC=60°,平面ACFE⊥平面ABCD,四边形ACFE是矩形,AE=a,点M在线段EF上..
(Ⅰ)求证:BC⊥平面ACFE;.
(Ⅱ)求二面角B-EF-D的平面角的余弦值.

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(Ⅰ)欲证BC⊥平面ACFE,可根据面面垂直的性质定理进行证明,而AC⊥BC,平面ACFE⊥平面ABCD,交线为AC,满足面面垂直的性质定理; (Ⅱ)取EF中点G,EB中点H,连接DG,GH,DH,根据二面角的平面角的定义可知∠DGH是二面角B-EF-D的平面角,在△DGH中,利用余弦定理即可求出二面角B-EF-D的平面角的余弦值. 解(Ⅰ)在梯形ABCD中,∵AB∥CD,AD=DC=CB=a,∠ABC=60° ∴四边形ABCD是等腰梯形, 且∠DCA=∠DAC=30°,∠DCB=120° ∴∠ACB=∠DCB-∠DCA=90°∴AC⊥BC(3分) 又∵平面ACFE⊥平面ABCD,交线为AC, ∴BC⊥平面ACFE(5分) (Ⅱ)取EF中点G,EB中点H,连接DG,GH,DH∵DE=DF, ∴DG⊥EF∵BC⊥平面ACFE∴BC⊥EF 又∵EF⊥FC,∴EF⊥FB, 又∵GH∥FB, ∴EF⊥GH ∴BE2=DE2+DB2∴∠DGH是二面角B-EF-D的平面角.(8分) 在△BDE中,∴∠EDB=90°, ∴.(9分) 又.(10分) 即二面角B-EF-D的平面角的余弦值为
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考点分析:
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