Question

已知函数f（x）=log_ax在x∈[3，+∞）上，恒有|f（x）|＞1，则实数a的取值范围是    ．

Answer

当a＞1时，不等式即 logax＞1=logaa，故a＜x对任意x∈[3，+∞）恒成立，得到1＜a＜3，当0＜a＜1时，不等式即-logax=loga1x＞1=logaa，故a＜x对任意x∈[3，+∞）恒成立，故 13＜a＜1，将两种情况下求得的a的取值范围再取并集．
【解析】
当a＞1时，∵x∈[3，+∞），∴y=f（x）=logax＞0，
由|f（x）|＞1，得logax＞1=logaa，∴a＜x对任意x∈[3，+∞）恒成立．
于是：1＜a＜3．
当0＜a＜1时，
∵x∈[3，+∞），
∴y=f（x）=logax＜0，
由|f（x）|＞1，得-logax=loga＞1=logaa，
∴a＞对任意x∈[3，+∞）恒成立．
于是：＜a＜1． 
综上：a∈（，1）∪（1，3）．
故答案为：且a≠1．