Question

在△ABC中，AB=4，AC=3，∠A的平分线AD=2，则△ABC的面积为    ．

Answer

根据题意画出图形，如图所示，过B作BE于AC平行，可得一对内错角相等，又AD为角平分线，可得一对角相等，等量代换可得∠E=∠BAD，从而得到三角形ABE为等腰三角形，由AB=4，可得BE=4，过B作BH垂直于AE，由三线合一得到H为AE中点，由AC与BE平行，得到两对内错角相等，进而得到三角形ACD与三角形BED相似，由对应边AC与BE的比值得到相似比，从而由AD可求出DE的值，进而求出AE的长，再由DB与DC之比等于相似比，三角形ABD与三角形ACD高为同一条高，故两三角形面积之比等于BD比CD，可得出三角形ABD面积与三角形ABC面积间的关系，利用AD及AD边上的高BH，根据三角形的面积公式求出三角形ABD的面积，即可求出三角形ABC的面积．
【解析】
根据题意画出图形，如图所示：

过B作BE∥AC，与AD的延长线交于点E，∴∠E=∠CAD，
∵AD为角平分线，∴∠BAD=∠CAD，
∴∠E=∠BAD，即△ABE为等腰三角形，
∴AB=BE=4，
作BH⊥AE，垂足为点E，
∴H为AE中点，即AH=EH=AE，
又BE∥AC，∴∠E=∠CAD，∠EBD=∠C，
∴△ACD∽△EBD，又AC=3，BE=4，AD=2，
∴===，
∴ED=，AE=AD+DE=2+=，
∴AH=AE=，
在Rt△ABH中，利用勾股定理得：BH==，
∴S△ABD=AD•BH=，
又CD：BD=3：4，
∴S△ACD：S△ABD=3：4，且S△ABC=S△ACD+S△ABD，
则S△ABC=S△ABD=．
故答案为：