Question

设函数g（x）=x²-2（x∈R），则f（x）的值域是    ．

Answer

当x＜g（x）时，x＞2 或x＜-1，f（x）=g（x）+x+4=x2-2+x+4=x2+x+2=（x+0.5）2+1.75，其值域为：（2，+∞）．当x≥g（x）时，-1≤x≤2，f（x）=g（x）-x=x2-2-x=（x-0.5）2-2.25，其值域为：[-2.25，0]．由此能得到函数值域．
【解析】
当x＜g（x），即x＜x2-2，（x-2）（x+1）＞0时，x＞2 或x＜-1，
   f（x）=g（x）+x+4=x2-2+x+4=x2+x+2=（x+0.5）2+1.75，
∴其最小值为f（-1）=2
   其最大值为+∞，
因此这个区间的值域为：（2，+∞）．
当x≥g（x）时，-1≤x≤2，
f（x）=g（x）-x=x2-2-x=（x-0.5）2-2.25
   其最小值为f（0.5）=-2.25
   其最大值为f（2）=0
   因此这区间的值域为：[-2.25，0]．
综合得：函数值域为：[-2.25，0]U（2，+∞）