Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列．
（1）求角B的值；
（2）若b=5，求△ABC周长的取值范围．

Answer

（1）先利用等差中项的定义找出等量关系，再利用三角恒等变换化简求解；
（2）先由正弦定理用角A、B表示出a、b，实现了边向角的转变，进而转化成三角函数求值域问题求解．
【解析】
（1）因为acosC，bcosB，ccosA成等差数列，所以acosC+ccosA=2bcosB，（2分）
由正弦定理得sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB，即sin（A+C）=sinB=2sinBcosB．
因为，又0＜B＜π，所以．（6分）
（2）∵，
∴，
同理，
因为，所以，
所以△ABC周长=a+b+c
=
=
=
=（12分）
因为，所以，
所以△ABC周长的取值范围为（10，15]．（14分）