Question

设P：指数函数f（x）=a^x，不等式f（x）＞1的解集是{x|x＜0}，Q：函数y=lg（ax²-x+a）的定义域为R，若P∧Q为假，P∨Q为真，求实数a的取值范围．

Answer

根据指数函数的性质，我们可以求出满足条件P的参数a的取值范围，根据对数函数的定义域，及二次函数恒成立问题，我们可以求出满足条件Q的参数a的取值范围，又由P∧Q为假，P∨Q为真，可得P与Q必定一真一假，分类讨论后，即可得到实数a的取值范围．
【解析】
∵P中，指数函数f（x）=ax，不等式f（x）＞1的解集是{x|x＜0}，
由指数函数的性质可得P={a|0＜a＜}
又∵Q中，函数y=lg（ax2-x+a）的定义域为R，即ax2-x+a＞0恒成立
则
解得Q={a|a＞}
又∵P∧Q为假，P∨Q为真，
∴P与Q必定一真一假
（1）当P真Q假时，0＜a≤
（2）当P假Q真时，a≥1
综上所述实数a的取值范围为（0，]∪[1，+∞）