Question

已知函数f（x）=（sinωx-cosωx）²+2sin²ωx（ω＞0）的周期为．
（Ⅰ） 求函数y=f（x）在上的值域；
（Ⅱ）求最小的正实数ϕ，使得y=f（x）的函数图象向右平移ϕ个单位后所对应的函数为偶函数．

Answer

把f（x）的解析式先利用完全平方公式及二倍角的余弦函数公式化简，再根据同角三角函数间的基本关系及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据已知的周期，利用周期公式求出ω的值，从而确定出函数f（x）的解析式，
（Ⅰ）由函数定义域x的范围，求出f（x）中正弦函数角的范围，根据正弦函数的图象与性质，即可得到f（x）的值域；
（Ⅱ）先根据平移规律：左加右减，表示出f（x）的函数图象向右平移ϕ个单位后所对应的函数g（x），然后根据g（x）为偶函数，根据偶函数的定义g（-x）=g（x），即可表示出φ，再根据φ＞0，得到满足题意的最小正实数φ的值．
【解析】
f（x）=（sinωx-cosωx）2+2sin2ωx=1-2sinωxcosωx+（1-cos2ωx）
=2-sin2ωx-cos2ωx=2-sin（2ωx+）
由T=，得到|ω|=，又ω＞0，
∴ω=，
则f（x）=2-sin（3x+），
（Ⅰ）由
则函数y=f（x）在上的值域为；
（Ⅱ）∵y=f（x）的函数图象向右平移ϕ个单位后所对应的函数为：

则y=g（x）为偶函数，则有
则φ=-π-（k∈Z），又因为φ＞0，
∴满足条件的最小正实数φ=．