Question

为了保护三峡库区的生态环境，凡是坡度在25°以上的坡荒地都要绿化造林，经初步统计，在三峡库区内坡度大于25°的坡荒地面积约有2640万亩，若从2003年初开始绿化造林，第一年造林120万亩，以后每年比前一年多绿化60万亩．
（1）若所有被绿化造林的坡荒地全都成功，问到哪一年底可使库区的坡荒地全部绿化？
（2）若每万亩绿化造林所植树苗的木材量平均为0.1万立方米，每年树木木材量的自然生长率为20%，那么当整个库区25°以上坡荒地全部绿化完成的那一年底，一共有木材多少万立方米？（保留1位小数，1.2⁹=5.16，1.2⁸=4.30）

Answer

（1）由于从2003年初开始绿化造林，第一年造林120万亩，以后每年比前一年多绿化60万亩，设每年应绿化的坡荒地面积为an则{an}为等差数列，从而可求前n项的和，要使库区的坡荒地全部绿化，则有Sn≥2640，从而问题可解．
（2）设该库区每年拥有木材量为bn，则有b1=120×0.1×（1+20%）8=12×1.28；b2=（120+60）×0.1×（1+20%）7=18×1.27；…b8=（120+60×7）×（1+20%）=54×1.2，∴S8=b1+b2+…+b8=6（2×1.28+3×1.27+…+9×1.2），利用错位相减法可求．
【解析】
（1）设每年应绿化的坡荒地面积为an（单位：万亩），则{an}为等差数列．
∵a1=120，d=60，∴Sn=120n+×n（n-1）×60
令Sn≥2640，即4n+n（n-1）≥88，（n+11）（n-8）≥0，n∈N+，∴n≥8．
故到第8年底，即2010年底可使库区的坡荒地全部绿化．…（5分）
（2）设该库区每年拥有木材量为bn（含种植的树苗及自然生长量，单位：万m3）．则
b1=120×0.1×（1+20%）8=12×1.28；
b2=（120+60）×0.1×（1+20%）7=18×1.27；
…
b8=（120+60×7）×（1+20%）=54×1.2，
∴S8=b1+b2+…+b8=6（2×1.28+3×1.27+…+9×1.2）（1）…8分
1.2S8=6（2×1.29+3×1.28+…+9×1.22）          （2）
由（2）-（1）得 0.2 S8=6（2×1.29+1.28+1.27+…1.22-9×1.2）
∴S8=30[2×1.29+-9×1.2]=30[2×1.29+5（1.29-1.22）-9×1.2]=30（7×5.16-5×1.44-9×1.2）
=30（36.12-18）=543.6．
故到2010年底共有木材543.6万m3．…（13分）