Question

设G为△ABC的重心，过G的直线l分别交△ABC的两边AB、AC于P、Q，已知=λ，=μ，△ABC和△APQ的面积分别为S、T．
（1）求证：=3；
（2）求的取值范围．

Answer

（1）先设，连接AG并延长AG交BC于M，此时M是BC的中点．于是=（）=（）   
 =（）因为P、G、Q三点共线，建立关于参数的等式，消去参数t即得结论；
（2）由于△APQ与△ABC有公共角，则==λμ，由题设有1≤≤2，+=3将表示成关于λ的函数解析式，利用函数的最值问题即可求出的取值范围．
【解析】
（1）设，连接AG并延长AG交BC于M，此时M是BC的中点．
于是=（）=（）   
 =（）
又由已知=λ=λ．=μ=μ．
∴=-=μ-λc
=（）-λ=（-λ） +
因为P、G、Q三点共线，则存在实数t，满足
所以（-λ） +=tμ-tλ
由向量相等的条件得   消去参数t得，=-，
即+=3．…（6分）
（2）由于△APQ与△ABC有公共角，则==λμ，
由题设有0＜λ≤1，0＜μ≤1，于是≥1，≥1，
∵=3-≤2，∴1≤≤2，
∵+=3∴μ==λμ===…（12分）
∵1≤≤2，∴当=时，-（-）2+有最大值，
λ=1或2时，-（-）2+有最小值2．
∴的取值范围为[，]．…14