Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，过顶点A₁作直线l，使l与直线AC和直线BC₁所成的角均为60°，则这样的直线l有    条．

Answer

因为AD1∥BC1，过A1在空间作直线l，使l与直线AC和BC1所成的角都等于 60，可转化为过点A在空间作直线l，使l与直线AC和AD1所成的角都等于 60．可分在平面ACD1内和在平面ACD1外两种情况寻找．因为要与直线AC和AD1所成的角都相等，故在平面ACD1内可考虑角平分线；在平面AC11外可将角平分线绕点A旋转考虑．
【解析】
因为AD1∥BC1，所以过A1在空间作直线l，使l与直线AC和BC1所成的角都等于 60°，即过点A在空间作直线l，使l与直线AC和AD1所成的角都等于 60°．
因为∠CAD1=60°，∠CAD1的外角平分线与AC和AD1所成的角相等，均为60°，所以在平面ACD1内有一条满足要求．
因为∠CAD1的角平分线与AC和AD1所成的角相等，均为30°，
将角平分线绕点A向上转动到与面ACD1垂直的过程中，存在两条直线与直线AC和AD1所成的角都等于 60°；
故符合条件的直线有3条．
故答案为：3．