Question

国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某钻石的价值V（美元）与其重量W（克拉）的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元．
（1）写出V关于W的函数关系式；
（2）若把一颗钻石切割成重量比为1：3的两颗钻石，求价值损失的百分率；
（3）把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为M克拉和N克拉，试用你所学的数学知识证明：当M=N时，价值损失的百分率最大．（注：价值损失的百分率=%；在切割过程中的重量损耗忽略不计）．

Answer

（1）根据“钻石的价值V（美元）与其重量W（克拉）的平方成正比”建立模型v=kw2，再由“一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元”解得模型．
（2）设这颗钻石的重量为a克拉，根据（1）可知，按重量比为1：3切割后的价值为，则价值损失为，根据“价值损失的百分率=%”求解．
（3）证明：先建立价值损失的百分率模型为：，再用基本不等式求得最值．
解（1）依题意设v=kw2，（2分）
又当w=3时，v=54000，∴k=6000（3分）
故v=6000w2（4分）
（2）设这颗钻石的重量为a克拉，
由（1）可知，按重量比为1：3切割后的价值为（6分）
价值损失为（7分）
价值损失的百分率为
答：价值损失的百分率为37.5%（8分）
（3）证明：价值损失的百分率为
当且仅当m=n时，等号成立．
即把一颗钻石切割成两颗钻石，当两颗钻石的重量相等时，价值损失的百分率最大．（12分）