Question

设F₁，F₂分别为椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点．
（1）设椭圆C上的点A（1，）到F₁、F₂两点距离之和等于4，求椭圆C的方程和离心率；
（2）设PQ是（1）中所得椭圆过左焦点的动弦，求弦PQ中点M到右准线近距离的取值范围．

Answer

（1）把已知点的坐标代入椭圆方程，再由椭圆的定义知2a=4，从而求出椭圆的方程，由椭圆的方程求出离心率．
（2）设M（x，y），P（ x1，y1 ），Q（x2，y2 ），直线PQ方程为 y=k（x+1），然后表示出弦PQ中点M到右准线距离关于k的函数，求出取值范围，再考虑斜率不存在时中点到右准线的距离，即可求出所求．
【解析】
（1）椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2
又点A（1，）在椭圆上，因此 =1得b2=3，于是c2=1
所以椭圆C的方程为 =1，离心率e=；
（2）设M（x，y），P（ x1，y1 ），Q（x2，y2 ），直线PQ方程为 y=k（x+1），右准线方程为x=4
由消y得：（3+4k2）x2+8k2 x+4k2-12=0，
∴x1+x2=，因为M是AB中点，有 x=，
∴x=
∴弦PQ中点M到右准线距离为4-∈[4，5）
当直线PQ的斜率k不存在时，PQ⊥x轴，AB中点M 的坐标为（-1，0），M到右准线距离为5，
∴弦PQ中点M到右准线近距离的取值范围为[4，5]．