Question

已知圆A的圆心为（，0），半径为1，双曲线C的两条渐近线都过原点，且与圆A相切，双曲线C的一个顶点A′与点A关于直线y=x对称．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设直线l过点A，斜率为k，当0＜k＜1时，双曲线C的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为，试求k的值及此时点B的坐标．

Answer

（1）设双曲线的渐近线为y=kx，则可求得圆心到直线的距离求得k，进而求得点A的关于直线y=x的对称点，求得双曲线的a和b，双曲线方程可得．
（2）依题意设B点在与l平行的直线l'上，且l与l'间的距离为，设直线l'：y=kx+m，则可表示出B点到直线l的距离求得m与k的关系式，把l'代入双曲线方程，根据判别式等于0求得m和k的另一个关系式，联立求得m和k，进而求得B点的坐标．
【解析】
（1）设双曲线的渐近线为y=kx，则，解得k=±1．即渐近线为y=±x．
又点A关于y=x的对称点A'的坐标为（0，），
所以，a=b=，双曲线的方程为．
（2）直线l：y=k（x-），（0＜k＜1）．
依题意设B点在与l平行的直线l'上，且l与l'间的距离为，设直线l'：y=kx+m，则=，即m2+2km=2①
把l'代入双曲线方程得：（k2-1）x2+2mkx+m2-2=0
∵0＜k＜1，∴k2-1≠0．∴△=4（m2+2k2-2）=0，即m2+2k2=2②
解①②，得m=，k=．
此时，x=2，y=，所以B（2，）．