Question

椭圆ax²+by²=1与直线x+y-1=0相交于A，B两点，C是AB的中点，若的斜率为，求椭圆的方程．

Answer

由已知中椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A，B两点，可先设A（x1，y1），B（x2，y2），即A、B的坐标是方程组 的解．两式相减，得出b与a的关系，再由方程组消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得a，b值，从而求得椭圆的方程．
【解析】
设A（x1，y1），B（x2，y2），那么A、B的坐标是方程组 的解．
即：a（x1+x2）（x1-x2）+b（y1+y2）（y1-y2）=0，
因为 =-1，
所以 =，
即 =，==，所以b=a①
再由方程组消去y得（a+b）x2-2bx+b-1=0，
由|AB|===
=2 ，
得（x1+x2）2-4x1x2=4，即（ ）2-4•=4．②
由①②解得a=，b=，
故所求的椭圆的方程为 +=1．