Question

如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，，点A，B关于y轴对称．一曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变．
（1）求曲线E的方程；
（2）已知点，求∠SPT的最小值；
（3）若点是曲线E上的一点，设M，N是曲线E上不同的两点，直线FM和FN的倾斜角互补，试判断直线MN的斜率是否为定值，如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．

Answer

（1）设P（x，y），由，知动点P的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，且，由此能求出曲线E的方程．
（2）设P（x，y）是曲线E上的任意一点，则有，．由椭圆的对称性设点P在y轴右侧，即0＜x≤2，则，由到角公式得．由此能求出∠SPT的最小值．
（3）由M，N是曲线E上不同的两点，设直线FM的方程为．由得（4k2+3）x2-4k（2k-3）x+4k2-12k-3=0．由此能够推导出直线MN的斜率为定值．
【解析】
（1）设P（x，y），∵…（1分）
∴动点P的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，且…（2分）
∴动点P的轨迹方程即曲线E的方程为…（3分）
（2）设P（x，y）是曲线E上的任意一点，则有，∴
由椭圆的对称性不妨设点P在y轴右侧，即0＜x≤2
则，由到角公式得…（4分）
∴∠SPT为锐角…（6分）
∵0＜x≤2，∴当x=2时，…（7分）
∴∠SPT的最小值为…（8分）
（3）∵M，N是曲线E上不同的两点，且直线FM和FN的倾斜角互补，则直线FM，FN的斜率存在且不为零．
设直线FM的方程为
由消y，整理得（4k2+3）x2-4k（2k-3）x+4k2-12k-3=0①…（10分）
设M（x1，y1），N（x2，y2），又是直线FM与椭圆的交点，∴方程①的两根为1，x1
由根与系数的关系得②…（11分）
∵直线FM和FN的倾斜角互补，∴直线FN的斜率为-k，
以-k代替②中的k得…（12分）
又∴
而，∴
∴直线MN的斜率为定值，其定值为…（14分）