Question

下面命题正确的是    ．
①存在实数α，使sinαcosα=1；
②若α，β是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ；
③在△ABC中，若sinAsinB＞cosAcosB，则这个三角形是锐角三角形；
④函数y=cos²x+sinx的最小值是-1；
⑤若cosθ＜0且sinθ＞0，则是第一象限角．

Answer

①sinαcosα利用二倍角的正弦函数公式化简，根据正弦函数的值域得到sinαcosα的范围，根据范围得到其值不能等于1，本选项错误；
②由α，β是第一象限角，可找两个角且α＞β，但是tanα＜tanβ，利用反例可说明本选项错误；
③把已知的不等式移项后，利用两角和与差的余弦函数公式化简，根据A和B为三角形的内角，可得出A+B为钝角，从而得到C为锐角，但是A和B不一定为锐角，故此三角形不一定为锐角三角形，本选项错误；
④把函数利用同角三角函数间的基本关系化为关于sinx的二次函数，根据sinx的值域，利用二次函数的性质可求出函数的最小值，即可作出判断；
⑤根据题意得出sinθ与cosθ异号，得出θ为第二或第四象限角，进而得到是第一或第四象限角，本选项错误．
【解析】
①∵sinαcosα=sin2α，且sin2α∈[-1，1]，
∴sinαcosα∈[-，]，
则不存在实数α，使sinαcosα=1，本选项错误；
②若α，β是第一象限角，令α=，β=，
满足α＞β，但是tanα=tan（2π+）=tan=，tanβ=，
即tanα＜tanβ，本选项错误；
③sinAsinB＞cosAcosB，变形得：cosAcosB-sinAsinB＜0，
即cos（A+B）＜0，又A和B都为三角形的内角，
∴A+B∈（，π），即C为锐角，
但三角形不一定为锐角三角形，本选项错误；
④函数y=cos2x+sinx=1-sin2x+sinx=-（sinx-）2+，
又-1≤sinx≤1，
则当sinx=-1时，函数有最小值，最小值为-1，本选项正确；
⑤由cosθ＜0且sinθ＞0，得到θ为第二或四象限，
则为第一象限或第四象限，本选项错误，
则正确的选项为④．
故答案为：④