Question

设函数f（x）=a^x（a＞0，a≠1）的定义域和值域均为[m，n]，则a的取值范围是    ．

Answer

函数f（x）=ax（a＞0，a≠1）的定义域和值域均为[m，n]，问题转化为y=f（x）的图象与y=x的图象有两个不同的公共点，构造函数利用导数，求最大值，然后求解即可得出符合题意的a的取值范围．
【解析】
f（x）=ax（a＞0，a≠1）的定义域和值域均为[m，n]，
那么y=f（x）与y=x的图象有两个交点
即方程f（x）-x=0有两个不相等的实数根．
设g（x）=f（x）-x=ax-x
则g'（x）=axlna-1
令g'（x）=0 得 ax=＞0，说明a＞1
所以x=
所以当x=-loga（lna）时，g（x）取得最小值
由＜0 得
1＜a＜
故答案为：（1，）．