Question

已知x＞1，y＞1且2log_xy-2log_yx+3=0，记M=x²-4y²．
（1）求出M关于x的函数解析式f（x），并求其值域；
（2）解关于t的方程f（t²+2）=f（3t）．

Answer

（1）设n=logxy，根据题意可得n＞0，以及得到2n2+3n-2=0，求出n的数值即可得到y2=x，进而得到函数f（x）的解析式，再根据二次函数的性质得到答案．
（2）结合二次函数的性质可得：t2+2=3t或者（t2+2）+（3t）=4，即可求出t的值，再根据函数的定义域得到方程的解．
【解析】
（1）设n=logxy，
因为x＞1，y＞1，所以n＞0．
因为2logxy-2logyx+3=0，
所以可得2n2+3n-2=0，解得：n=或者n=-2（舍去），
所以logxy=，即y2=x，
所以M=x2-4y2=x2-4x，即f（x）=x2-4x，（x＞1），
根据二次函数的有关性质可得：f（x）∈[-3，+∞），即值域为[-3，+∞）．
（2）由（1）并且结合二次函数的性质可得：t2+2=3t或者（t2+2）+（3t）=4，
解得t=1，t=2，t=，t=．
又因为f（x）=x2-4x，（x＞1），
所以t2+2≥-3，并且3t≥-3，解得：t≥-1．
所以方程的解为t=1，t=2，t=．