Question

对于函数f（x），g（x），h（x），如果存在实数a，b，使得h（x）=af（x）+bg（x），那么称h（x）为f（x），g（x）的线性生成函数．
（1）给出如下两组函数，试判断h（x）是否分别为f（x），g（x）的线性生成函数，并说明理由．
第一组：；
第二组：f（x）=x²-x，g（x）=x²+x+1，h（x）=x²-x+1．
（2）已知f（x）=log₂x，g（x）=log_0.5x的线性生成函数为h（x），其中a=2，b=1．若不等式3h²（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围；
（3）已知的线性生成函数h（x），其中a＞0，b＞0．若h（x）≥b对a∈[1，2]恒成立，求实数b的取值范围．

Answer

（1）对于第一组：利用和角公式即可得到，即h（x）为f（x），g（x）的线性生成函数．
第二组：f（x）=x2-x，g（x）=x2+x+1，h（x）=x2-x+1．若h（x）为f（x），g（x）的线性生成函数，则有：
存在实数a，b，使得x2-x+1=a（x2-x）+b（x2+x+1），利用关于a，b的方程组无解即可得出h（x）不为f（x），g（x）的线性生成函数．
（2）先得到h（x）=2log2x+log0.5x=log2x，当x∈[2，4]时，1≤h（x）≤2，若不等式3h2（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，利用换元思想结合二次函数的性质即可求得实数t的取值范围；
（3）由已知，的线性生成函数h（x），其中a＞0，b＞0，可得h（x）=ax+，再结合函数h（x）的性质利用恒成立问题的解法即可求得实数b的取值范围．
【解析】
（1）第一组：；
若h（x）为f（x），g（x）的线性生成函数，则有：
存在实数a，b，使得=asinx+bcosx，
由于故上式成立，
即h（x）为f（x），g（x）的线性生成函数．
第二组：f（x）=x2-x，g（x）=x2+x+1，h（x）=x2-x+1．
若h（x）为f（x），g（x）的线性生成函数，则有：
存在实数a，b，使得x2-x+1=a（x2-x）+b（x2+x+1），
则：x2-x+1=（a+b）x2-（a-b）x+b，
∴这是不可能成立的，
即h（x）不为f（x），g（x）的线性生成函数．
（2）已知f（x）=log2x，g（x）=log0.5x的线性生成函数为h（x），其中a=2，b=1．
则：h（x）=2log2x+log0.5x=log2x，当x∈[2，4]时，1≤h（x）≤2，
若不等式3h2（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，
即-t＞3h2（x）+2h（x），即要求-t＞3h2（x）+2h（x）最小值即可，
-t＞5，∴t＜-5
∴实数t的取值范围t＜-5．
（3）由已知，的线性生成函数h（x），其中a＞0，b＞0．
得：h（x）=ax+，
若h（x）≥b对a∈[1，2]恒成立，
即ax+≥b对a∈[1，2]恒成立，
b要小于等于ax+的最小值即可，
即b≤2，即，
由于a∈[1，2]，∴，得出：0＜b≤4
∴实数b的取值范围是0＜b≤4．