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manfen5.com 满分网如图,已知直线l与抛物线x2=4y相切于点P(2,1),且与x轴交于点A,定点B的坐标为(2,0).
(I)若动点M满足manfen5.com 满分网,求点M的轨迹C;
(Ⅱ)若过点B的直线l′(斜率不等于零)与(I)中的轨迹C交于不同的两点E、F(E在B、F之间),试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围.
(I)对抛物线方程进行求导,求得直线l的斜率,设出M的坐标,利用求得x和y的关系. (II)设l'方程代入椭圆的方程,消去y,利用判别式大于0求得k的范围,设出E,F的坐标,利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2,令,则可推断出,进而表示出(x1-2)•(x2-2)和(x1-2)+(x2-2),最后求得k和λ的关系,利用k的范围求得λ的范围. 【解析】 (I)由x2=4y得, ∴. ∴直线l的斜率为y'|x=2=1, 故l的方程为y=x-1,∴点A的坐标为(1,0). 设M(x,y),则=(1,0),,, 由得, 整理,得. ∴动点M的轨迹C为以原点为中心,焦点在x轴上,长轴长为,短轴长为2的椭圆. (II)如图,由题意知l'的斜率存在且不为零, 设l'方程为y=k(x-2)(k≠0)=1 ①, 将 ①代入,整理,得 (2k2+1)x2-8k2•x+(8k2-2)=0,由△>0得. 设E(x1,y1)、F(x2,y2),则,② 令,则, 由此可得,,且0<λ<1. 由 ②知, . ∴, 即. ∵,∴, 解得. 又∵0<λ<1,∴, ∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是(,1).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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