Question

椭圆的中心在原点，其左焦点F₁与抛物线y²=-4x的焦点重合，过F₁的直线l与椭圆交于A，B两点，与抛物线交于C，D两点．当直线l与x轴垂直时，．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求过点O，F₁，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；
（Ⅲ）求的最值．

Answer

（Ⅰ）又抛物线方程求椭圆中c的值，再根据椭圆与抛物线的通径比求出a，b关系式，椭圆方程可解．
（Ⅱ）由圆过点O，F1可得圆心横坐标值，再根据圆与与椭圆的左准线相切，可求出半径．
（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l方程与椭圆方程联立，得x1x2与x1+x2，再代入，化简，即可得到关于k的式子，其范围也就是的范围．进而求出最值．
【解析】
（Ⅰ）∵椭圆的中心在原点，其左焦点F1与抛物线y2=-4x的焦点重合，∴c=1
∵过F1的直线l与椭圆交于A，B两点，与抛物线交于C，D两点．当直线l与x轴垂直时，∴AB为椭圆通径，CD为抛物线通经，
∵，∴=，b2=a，∵a2=b2+c2，得a=，b=1，∴所求椭圆方程为
（Ⅱ）∵所求圆过点O，F1，可设坐标为（-，n），∵圆与椭圆的左准线相切，∴半径r=--（-2）=
∴，n=，∴所求圆方程为．
（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2）
①当直线l斜率存在时，设方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，得，
∴x1x2=，x1+x2=..=（x1-1）（x2-1）+y1y2==--
∵k2∈[0，+∞），∴∈[-1，）
②当直线l斜率不存在时，可得啊（-1，）B（-1，-），此时，=．
综上，∈【-1，】．∴最大值为，最小值为-1．