Question

已知圆A：，圆B：，动圆P与圆A、圆B均外切，直线l的方程为x=a（a≤）．
（Ⅰ） 求动圆P的圆心的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点B的直线与曲线C交于M、N两点，（1）求|MN|的最小值；（2）若MN的中点R在l上的射影Q满足MQ⊥NQ，求a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）根据双曲线的定义，可判断所求轨迹为双曲线，再利用双曲线方程的求法求出轨迹C的方程．
（Ⅱ）（1）设出过点B的直线方程，代入双曲线方程，用弦长公式求|MN|的长，再求最小值．
（2）由（1）可得，R、Q点的坐标也可用m和a表示，
由MQ⊥NQ，知．从而把a也表示为m的函数，求值域即可得a的范围；也可设直线方程的点斜式，即设出过B直线的斜率k，代入双曲线方程，用焦半径公式求得|MN|，进而用类似思想求出a的范围．
【解析】
（Ⅰ）设动圆P的半径为r，则|PA|=，|PB|=，
∴|PA|-|PB|=2．
故点P的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，
其方程为（x≥1）．
（Ⅱ）（1）设MN的方程为x=my+2，代入双曲线方程，得（3m2-1）y2+12my+9=0．
由，解得．
设M（x1，y1），N（x2，y2），则．
当m2=0时，|MN|min=6．
（2）由（1）知，．
由MQ⊥NQ，知．
所以，从而．
由，得a≤-1．
另【解析】

（1）若MN的斜率存在，设斜率为k，则直线MN的方程为y=k（x-2），代入双曲线方程，得（3-k2）x2+4k2x-4k2-3=0．
由解得k2＞3．
设M（x1，y1），N（x2，y2），则|MN|=|x1-x2|=6+．
当直线斜率不存在时，x1=x2=2，得y1=3，y2=-3．此时|MN|=6．
所以|MN|min=6．
（2）当MQ⊥NQ时，|RQ|==xR-a．①
又==2，即=2，
所以|MN|=4xR-2，故．②
将②代入①，得|MN|=2-4a．
由|MN|=2-4a≥6，得a≤-1．