Question

已知直线y=kx+1与双曲线3x²-y²=1有A、B两个不同的交点．
（1）如果以AB为直径的圆恰好过原点O，试求k的值；
（2）是否存在k，使得两个不同的交点A、B关于直线y=2x对称？试述理由．

Answer

（1）因为以AB为直径的圆恰好过原点O，所以AO⊥BO，把直线y=kx+1代入双曲线3x2-y2=1，利用向量垂直的充要条件去解．即可求出k的值．
（2）先假设存在k，使得两个不同的交点A、B关于直线y=2x对称，根据两点关于直线对称的方法，找到关于k的方程，解k，若能解出，则存在，如解不出，则不存在．
【解析】
（1）设A（x1，kx1+1），B（x2，kx2+1），则以AB为直径的圆恰好过原点O的充要条件是AO⊥BO，
∴x1x2+（kx1+1）（kx2+1）=0，即（k2+1）x1x2+k（x1+x2）+1=0…①
由消去y得   （3-k2）x2-2kx-2=0…②∴
将其代入①得，解得k=1或k=-1．
当k=1时，方程②为2x2-2x-2=0，有两个不等实根；
当k=-1时，方程②为x2+x-1=0，有两个不等实根．
故当k=1或k=-1时，以AB为直径的圆恰好过原点O．
（2）若A（x1，kx1+1），B（x2，kx2+1）关于直线y=2x对称，
则
将④整理得（k-2）（x1+x2）+2=0．
因为，所以，解之，得．这个结果与③矛盾．
故不存在这样的k，使两点A、B关于直线y=2x对称．