Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱CC₁的中点．
（1）判定AC与平面B₁DE的位置关系，并证明；
（2）求证：平面B₁DE⊥平面B₁BD；
（3）求二面角B-B₁E-D的大小．

Answer

（1）先判断出结论，线与面平行，再作辅助线证明线面平行，由线面平行的判定定理知，须先证线线平行，由图形知延长B1E交BC的延长线于M，证明CM∥AD即可
（2）证明面面垂直要用面面垂直的判定理，由题意知可证明DM⊥平面BDB1及DM⊂平面B1DE证明平面B1DE⊥平面B1BD；
（3）求二面角平面角，要先作角，证角，再求角，由图形知作BH⊥B1D于H，由（2）知BH⊥平面B1DE，作OH⊥B1E于O，连接BO，则BO⊥B1E，由此得∠BOH为二面角B-B1E-D的平面角．
【解析】
（1）线与面是平行的关系，证明如下：
延长B1E交BC的延长线于M，
∵E为CC1的中点，
∴Rt△ECM≌Rt△EC1B1．
∴CM=B1C1=AD．又CM∥AD，
∴ACMD为平行四边形．
∴AC∥DM．
又AC平面B1DE，DM⊂平面B1DE，
∴AC∥平面B1DE．（5分）
（2）证明：∵BB1⊥平面ABCD，
∴BB1⊥AC．
又ABCD为正方形，
∴BD⊥AC．
∴AC⊥平面BDB1．
∵DM∥AC，
∴DM⊥平面BDB1．
又DM⊂平面B1DE，
∴平面B1DE⊥平面B1BD．（10分）
（3）【解析】
作BH⊥B1D于H，由（2）知BH⊥平面B1DE，作OH⊥B1E于O，连接BO，则BO⊥B1E，
∴∠BOH为二面角B-B1E-D的平面角．
在Rt△B1BD中，BH==，连接BE，则BO是等腰△BB1E的腰B1E上的高，
∴BO==．
在Rt△BHO中，sin∠BOH==，
∴二面角B1-BE-D的大小为arcsin．（14分）