Question

探究函数f（x）=x+  x∈（0，+∞）的最小值，并确定相应的x的值，列表如下，请观察表中y值随x值变化的特点，完成下列问题：

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	8.5	5	4.17	4.05	4.005	4	4.005	4.102	4.24	4.3	5	5.8	7.57	…

（1）若当x＞0时，函数f（x）=x+时，在区间（0，2）上递减，则在______上递增；
（2）当x=______时，f（x）=x+，x＞0的最小值为______；
（3）试用定义证明f（x）=x+，x＞0在区间上（0，2）递减；
（4）函数f（x）=x+，x＜0有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？
解题说明：（1）（2）两题的结果直接填写在答题卷中横线上；（4）题直接回答，不需证明．

Answer

（1）由表中的数据可得函数的单调性；
（2）由表中的数据可以得出函数的最值；
（3）用定义法证明单调性，可先取任意的x1，x2∈（0，2），且x1＜x2，再研究f（x1）-f（x2）的差的符号，由定义得出函数的单调性；
（4）由于函数是一个奇函数，故可由函数的对称性得出答案．
【解析】
（1）若函数f（x）=x+  x∈（0，+∞）时，在区间（0，2）上递减，则在（2，+∞） 上递增；
（2）当x=2 时，f（x）=x+  x∈（0，+∞）的最小值为4；---（4分）
（3）设任意的x1，x2∈（0，2），且x1＜x2
=-----（10分）
∵x1，x2∈（0，2），且x1＜x2，∴0＜x1x2＜4，x1-x2＜0，∴x1x2-4＜0
∴f（x1）-f（x2）＞0f（x1）＞f（x2），即
∴f（x）=x+  在区间（0，2）上单调递减---------------（12分）
（4）函数f（x）=x+，x＜0有最大值，当x=-2时，最大值是-4----（14分）