Question

已知函数f（x）=（1+a）^|x|（a＞-1，a∈R）．
（1）若f（x）在（0，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（2）当时，记a_n=n•f（n），数列{a_n}的前n项和为S_n，求证：；
（3）当a=2且x∈[m，n]，f（x）∈[1，9]时，探求的取值范围．

Answer

（1）根据f（x）=（1+a）x为增函数，则1+a＞1，从而求出a的范围；
（2）当时，，然后利用错位相消法求出Sn，再根据{Sn}递增，即可求出Sn的范围；
（3）当a=2时，f（x）=3|x|为偶函数，其图象关于y轴对称，由x∈[m，n]，f（x）∈[1，9]及图象可得：或，然后分别在两种情况下利用基本不等式和二次函数求出取值范围即可．
【解析】
（1）当x∈（0，+∞）时，f（x）=（1+a）x为增函数，⇒1+a＞1⇒a＞0--------------（3分）
（2）当时，--------------（4分）
，错位相减可得：-----（8分）
显然------------（9分）
又，n≥2时，，所以，{Sn}递增，
综上，------------（10分）
（3）当a=2时，f（x）=3|x|为偶函数，其图象关于y轴对称．
由x∈[m，n]，f（x）∈[1，9]及图象可得：或
若，则=，令n+1=t∈[1，3]，
所以=-------------（14分）
若，则=-------------（18分）