Question

设f（x）=3ax²+2bx+c，且a+b+c=0，，求证：
（1）若f（0）•f（1）＞0，求证：-2＜＜-1；
（2）在（1）的条件下，证明函数f（x）的图象与x轴总有两个不同的公共点A，B，并求|AB|的取值范围．
（3）若a＞b＞c，g（x）=2ax²+（a+b）x+b，求证：时，恒有f（x）＞g（x）．

Answer

（1）先将f（0）＞0，f（1）＞0，利用函数式中的a，b，c进行表示，再结合等式关系利用不等式的基本性质即可得到a和 的范围即可．
（2）方程3ax2+2bx+c=0的判别式△=4（b2-3ac），由条件a+b+c=0消去b，证明其大于0，再利用韦达定理求线段AB|的取值范围
（3）先构建函数h（x）=f（x）-g（x）=ax2+（b-a）x+c-b=ax2-（2a+c）x+a+2c，再证明时，大于0即可．
【解析】
（1）若a=0，则b=-c，f（0）•f（1）=c•（3a+2b+c）=-c2≤0与已知矛盾∴a≠0…（2分）
由f（0）•f（1）＞0，得c（3a+2b+c）＞0
由条件a+b+c=0消去c，得（a+b）（2a+b）＜0∵a2＞0∴，∴…（4分）
（2）方程3ax2+2bx+c=0的判别式△=4（b2-3ac）
由条件a+b+c=0消去b，得∴方程f（x）=0有实根
即函数f（x）的图象与x轴总有两个不同的交点A、B．设A（x1，0），B（x2，0）
由条件知∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=∵∴∴即…（9分）
（3）设h（x）=f（x）-g（x）=ax2+（b-a）x+c-b=ax2-（2a+c）x+a+2c∵a＞b＞c，a+b+c=0∴a＞0且a＞-a-c＞c
即
又h（x）的对称轴为
∴时，
即时，f（x）＞g（x）恒成立…（14分）