Question

函数f（x）的导函数f'（x）=2x+b，且f（0）=c，．
（1）若c＞0，g（x）为奇函数，且g（x）的最大值为求b，c的值；
（2）若函数F（x）=f（x）+2-c定义域为[-1，1]，且F（x）的最小值为2，当函数f（x）在区间[-1，1]上有零点，求实数c的取值范围．

Answer

（1）由条件得出f（x）=x2+bx+c，根据g（x）为奇函数求得b=0，，再结合基本不等式求出最大值，列出关于c的方程，即可求得c值．
（2）先配方：再对b进行分类讨论：，当，，求得F（x）的最小值得到b值，后根据f（x）=x2+c=0的区间[-1，1]上有解，即可得出c的取值范围．
【解析】
（1）∵f'（x）=2x+b，且f（0）=c，则f（x）=x2+bx+c，∴，
∵g（x）为奇函数，∴g（-x）=-g（x）恒成立，∴b=0，
∵g（0）=0且，∴，
由得c=1
（2）
当，即b＜-2时F（x）min=F（1）=3+b=2得b=-1舍去
当，即b＞2时F（x）min=F（-1）=3-b=2得b=1舍去即-2≤b≤2，得b=0满足条件
∴f（x）=x2+c，由f（x）=x2+c=0得c=-x2，∵x∈[-1，1]，∴-x2∈[-1，0]
∵f（x）=x2+c=0的区间[-1，1]上有解，c的取值范围为[-1，0]