Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）是定义在R上的奇函数．且x=-1时，取得极值1．
（1）求f（x）的解析式．
（2）曲线上是否存在两个不同的点A、B，使过A、B的切线都垂直于AB．说明理由．

Answer

（1）欲求f（x）的解析式，只需找到关于a，b，c的三个等式，求出a，b，c的值，根据函数的奇偶性可得到一个含等式，根据x=-1时，取得极值1，可知函数在x=-1时，导数等于0，且x=-1时，函数值等于1，又可得到两个含a，b，c的等式，三个等式联立，解出a，b，c即可．
（2）先假设存在两个不同的点A、B，使过A、B的切线都垂直于AB，则切线斜率与AB斜率互为负倒数，又因为函数在A，B点处的切线斜率时函数在该点处的导数，就可得到含A，B点的坐标的方程，解方程，若方程有解，则假设成立，若方程无解，则假设不成立．
【解析】
（1）∵f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）是定义R上的奇函数
∴b=0
∴f（x）=ax3+cx，∴f′（x）=3ax2+c
依题意有f′（-1）=0且f（-1）=1
即，解得，a=，c=-
∴f（x）=x3+-x
（2）假定存在A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
则有KAB==（x13+x1x2+x23）-
f′（x）=x2-
依题意f′（x1）=f′（x2）=x12-=x22-
且x1≠x2
∴x1=-x2，kAB=x12-
又KAB-f′（x1）=-1得（x12-）-（x12-1）=-1
化简得x14-4x12+=0，△＜0，无解
∴假设不成立，故不存在．