Question

设函数y=f（x）的图象与y=2^x的图象关于直线x-y=0对称，则函数y=f（6x-x²）的递增区间为    ．

Answer

由已知得y=f（x）的图象与y=2x的图象关于直线y=x对称，根据互为反函数的图象的对称性可知它们互为反函数，即可求出函数y=f（x）的解析式，再根据符合函数的单调性求出函数y=f（6x-x2）的递增区间．
【解析】
因为函数y=f（x）的图象与y=2x的图象关于直线x-y=0对称，
所以函数y=f（x）与y=2x互为反函数，
∵y=2x的反函数为y=log2x，
∴f（x）=log2x，f（6x-x2）=log2（6x-x2）．
令u=6x-x2，则u＞0，即6x-x2＞0．
∴x∈（0，6）．
又∵u=-x2+6x的对称轴为x=3，且对数的底为2＞1，
∴y=f（6x-x2）的递增区间为（0，3）．
故答案为：（0，3）．