Question

定义在[-1，1]上的奇函数f（x）满足f（1）=1，且当a、b∈[-1，1]，a+b≠0时，有．
（1）证明：f（x）是[-1，1]上的增函数；
（2）若f（x）≤m²+2am+1对所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求m的取值范围．

Answer

（1）利用函数单调性的定义进行证明：在区间[-1，1]任取x1、x2，且x1＜x2，利用函数为奇函数的性质结合已知条件中的分式，可以证得f（x1）-f（x2）＜0，所以
函数f（x）是[-1，1]上的增函数．
（2）根据函数f（x）≤m2+2am+1对所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，说明f（x）的最大值1小于或等于右边，因此先将右边看作a的函数，m为参数系数，解不等式组，即可得出m的取值范围．
【解析】
（1）任取x1、x2∈[-1，1]，且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）
∵，
即（2分）
∵x1+（-x2）＜0，
∴f（x1）-f（x2）＜0．
则f（x）是[-1，1]上的增函数． （5分）
（2）要使f（x）≤m2+2am+1对所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
只须f（x）max≤m2+2am+1，即1≤m2+2am+1对任意的a∈[-1，1]恒成立，
亦即m2+2am≥0对任意的a∈[-1，1]恒成立．令g（a）=2ma+m2，
只须，
解得m≤-2或m≥2或m=0，即为所求．       （12分）