Question

函数f（x）=x³+ax²+bx+c，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于直线y=3x+1，若函数y=f（x）在x=-2时有极值．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间； 
（3）若函数f（x）在区间[-3，1]上的最大值为10，求f（x）在该区间上的最小值．

Answer

（1）切点在切线上求出点P的坐标，然后根据曲线上过点P（1，f（1）） 的切线方程为y=3x+1，且函数y=f（x）在x=-2 时有极值得f'（1）=3，f'（-2）=0，建立不等式组，解之即可求出a，b的值；．
（2）先求出其导函数，根据导函数值大于0以及小于0即可求出函数f（x）的单调区间；
（3）先分析出何时取最大值，结合最大值为10求出c，再结合函数值即可得到f（x）在该区间上的最小值．
【解析】
（1）由题意知P（1，4），
f′（x）=3x2+2ax+b                        …（2分）
∵曲线上过点P（1，f（1）） 的切线方程平行与y=3x+1，且函数y=f（x）在x=-2 时有极值．
∴，解得  ．
∴f（x）=x3+2x2-4x+c             
（2）∵f'（x）=3x2+4x-4=（3x-2）（x+2）
∴x＞，x＜-2，f'（x）＞0；
-2＜x＜，f'（x）＜0．
∴函数f（x）的单调增区间为：（-∞，-2）（，+∞）
单调减区间为：（-2，）
（3）∵函数在[-3，-2）上增，（-2，）上减，（，1]上增；
且f（-2）=8+c，f（1）=-1+c；f（-3）=3+c，f（）=-+c；
由函数f（x）在区间[-3，1]上的最大值为10，
得f（-2）=8+c=10⇒c=2，
∴f（x）在该区间上的最小值为：．