(1)要求用数学归纳法证明:按照两个步骤进行,特别注意递推即可.
(2)由an+1=-an2+2an和bn=lg(1-an)及,求得bn列进而求得,再取极限即可.
(1)证明:①当n=1时,由条件知,成立
②假设n=k成立,即0<ak<1成立,
当n=k+1时,ak+1=-ak2+2ak=-(ak-1)2+1,
∵0<aK<1
∴0<(ak-1)2<1
∴0<-(ak-1)2+1<1
∴0<aK+1<1
这就是说,当=k+1时,0<ak<1也成立.
根据①②知,对任意n∈N*,不等式0<an<1恒成立.
(2)【解析】
1-an+1=(1-an)2,0<an<1;
lg(1-an+1)=lg(1-an)2,,即lg(1-an+1)=2lg(1-an)
即:bn+1=2bn
∴{bn}是以-1为首项,以2为公比的等比数列.
∴bn=-2n-1,∴
无究数列{}所有项的和为:
=()=[(-1)×]=-2×()=-2