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已知数列{an}满足an+1=-an2+2an(n∈N*),且0<a1<1. (...

已知数列{an}满足an+1=-an2+2an(n∈N*),且0<a1<1.
(1)用数学归纳法证明:0<an<1;
(2)若bn=lg(1-an),且manfen5.com 满分网,求无穷数列manfen5.com 满分网所有项的和.
(1)要求用数学归纳法证明:按照两个步骤进行,特别注意递推即可. (2)由an+1=-an2+2an和bn=lg(1-an)及,求得bn列进而求得,再取极限即可. (1)证明:①当n=1时,由条件知,成立 ②假设n=k成立,即0<ak<1成立, 当n=k+1时,ak+1=-ak2+2ak=-(ak-1)2+1, ∵0<aK<1 ∴0<(ak-1)2<1 ∴0<-(ak-1)2+1<1 ∴0<aK+1<1 这就是说,当=k+1时,0<ak<1也成立. 根据①②知,对任意n∈N*,不等式0<an<1恒成立. (2)【解析】 1-an+1=(1-an)2,0<an<1; lg(1-an+1)=lg(1-an)2,,即lg(1-an+1)=2lg(1-an) 即:bn+1=2bn ∴{bn}是以-1为首项,以2为公比的等比数列. ∴bn=-2n-1,∴ 无究数列{}所有项的和为: =()=[(-1)×]=-2×()=-2
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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