Question

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，F₁、F₂分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上有一点P，∠F₁PF₂=，且△PF₁F₂的面积为3，求椭圆的方程．

Answer

根据点P是椭圆的左支上的一点，及双曲线的定义可知|PF2|+|PF1|=2a，由，∠F1PF2=，且△PF1F2的面积为3，可以求得|PF2|•|PF1|的值，根据余弦定理可以求得a，c的一个方程，双曲线的离心率为2，根据双曲线的离心率的定义式，可以求得a，c的一个方程，解方程组即可求得该椭圆的方程．
【解析】
设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），F1（-c，0）、F2（c，0）．
因为点P在椭圆上，所以|PF1|+|PF2|=2a．…（2分）
在△PF1F2中，由余弦定理，得
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|cos=（|PF1|+|PF2|）2-3|PF1|•|PF2|，
即4c2=4a2-3|PF1|•|PF2|．…（6分）
又因S△PF1F2=3，所以|PF1|•|PF2|sin=3，得|PF1|•|PF2|=12．
所以4c2=4a2-36，又e==，
故a2=25，c2=16，b2=9，
∴所求椭圆的方程为+=1．…（12分）