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在数列{an},{bn}中,a1=2,b1=4,且an,bn,an+1成等差数列...

在数列{an},{bn}中,a1=2,b1=4,且an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成等比数列.
(1)求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜测{an},{bn}的通项公式,并证明你的结论;
(2)证明:manfen5.com 满分网
(1)根据等差中项和等比中项的性质求得an和bn的关系式,分别求得a2,a3,a4及b2,b3,b4,推测出它们的通项公式.先看当n=1时,等式明显成立;进而假设当n=k时,结论成立,推断出ak和bk的表达式,进而看当n=k+1时看结论是否成立即可. (2)先n=1时,不等式成立,进而看n≥2时利用(1)中的{an},{bn}的通项公式,以及裂项法进行求和,证明题设. 【解析】 (1)由条件得2bn=an+an+1,an+12=bnbn+1 由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25. 猜测an=n(n+1),bn=(n+1)2. 用数学归纳法证明: ①当n=1时,由上可得结论成立. ②假设当n=k时,结论成立,即ak=k(k+1),bk=(k+1)2, 那么当n=k+1时,ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k+2),bk+1==(k+2)2. 所以当n=k+1时,结论也成立. 由①②,可知an=n(n+1),bn=(n+1)2对一切正整数都成立. (2)证明:. n≥2时,由(1)知an+bn=(n+1)(2n+1)>2(n+1)n. 故== 综上,原不等式成立.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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