(1)根据等差中项和等比中项的性质求得an和bn的关系式,分别求得a2,a3,a4及b2,b3,b4,推测出它们的通项公式.先看当n=1时,等式明显成立;进而假设当n=k时,结论成立,推断出ak和bk的表达式,进而看当n=k+1时看结论是否成立即可.
(2)先n=1时,不等式成立,进而看n≥2时利用(1)中的{an},{bn}的通项公式,以及裂项法进行求和,证明题设.
【解析】
(1)由条件得2bn=an+an+1,an+12=bnbn+1
由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25.
猜测an=n(n+1),bn=(n+1)2.
用数学归纳法证明:
①当n=1时,由上可得结论成立.
②假设当n=k时,结论成立,即ak=k(k+1),bk=(k+1)2,
那么当n=k+1时,ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k+2),bk+1==(k+2)2.
所以当n=k+1时,结论也成立.
由①②,可知an=n(n+1),bn=(n+1)2对一切正整数都成立.
(2)证明:.
n≥2时,由(1)知an+bn=(n+1)(2n+1)>2(n+1)n.
故==
综上,原不等式成立.