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如图,某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地,△ABC的外面种草,△ABC...

manfen5.com 满分网如图,某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地,△ABC的外面种草,△ABC的内接正方形PQRS为一水池,其余的地方种花,若BC=a,∠ABC=θ,设△ABC的面积为S1,正方形的面积为S2
(1)用a,θ表示S1和S2
(2)当a固定,θ变化时,求manfen5.com 满分网取最小值时的角.
(1)据题知三角形ABC为直角三角形,根据三角函数分别求出AC和AB,求出三角形ABC的面积S1;设正方形PQRS的边长为x,利用三角函数分别表示出BQ和RC,利用BQ+QR+RC=a列出方程求出x,算出S2; (2)由比值 称为“规划合理度”,可设t=sin2θ来化简求出S1与S2的比值,利用三角函数的增减性求出比值的最小值即可求出此时的θ. 【解析】 (1)在Rt△ABC中,AB=acosθ,AC=asinθ, (3分) 设正方形的边长为x则 , 由BP+AP=AB,得 ,故 所以 (6分) (2),(8分) 令t=sin2θ,因为 , 所以0<2θ<π,则t=sin2θ∈(0,1](10分) 所以 ,, 所以函数g(t)在(0,1]上递减,(11分) 因此当t=1时g(t)有最小值 , 此时 所以当 时,“规划合理度”最小,最小值为 .(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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