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已知定义在R上的奇函数. (1)求a、b的值; (2)若不等式对一切实数x及m恒...

已知定义在R上的奇函数manfen5.com 满分网
(1)求a、b的值;
(2)若不等式manfen5.com 满分网对一切实数x及m恒成立,求实数k的取值范围;
(3)若函数g(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,且当x∈(-1,1)时,g(x)=f(x)-x,求方程g(x)=0的所有解.
(1)由题意,函数在R上是奇函数,由于其在原点有定义故一定有f(0)=0,再结合f(-1)=-f(1),由此两方程即可求出a、b的值; (2)本小题的不等式恒成立,故可由(1)解出的函数解析式求出函数的最值,将恒成立的不等式-m2+(k+2)m-转化成 对 m∈R恒成立,再由二次函数的性质研究此不等式组,解出参数K的取值范围; (3)由题设条件函数是周期为2的奇函数,故可先研究其一个周期上的零点,再由周期性得出所有的零点,由于函数是奇函数易得f(0)=0,再由周期性的性质与奇函数的性质可得出由此解得f(-1)=f(1)=0,由此知一个周期上的零点,再由周期性得出结论 【解析】 (1)由于f(x)为R上的奇函数,故 f(0)=0,得 b=1…(1分) 则  由 f(-1)=-f(1)得,解得 a=2 ∴…(4分) (2)由(1) 由 2x+1>1知  则 …(6分) 要使对一切实数x及m恒成立 则需且只需 对 m∈R恒成立 即 对 m∈R恒成立 …(8分) 只需  解得-1≤k≤0…(9分) (3)当x∈(-1,1)时 显然及-x均为减函数,故g(x)在(-1,1)上为减函数 …(11分) 由于g(0)=0,故在(-1,1)内g(x)=0有唯一根x=0 由于g(x)周期为2,由此有x∈(2k-1,2k+1)内有唯 一根x=2k(k∈N)(1)…(12分) 综合得x=2k(k∈N)为g(x)=0的根 又因为g(-1)=g(-1+2)=g(1)得-g(1)=g(1) 故g(1)=0,因此得g(2k+1)=0(k∈N)(2)…(13分) 综合(1)(2)有g(x)=0的所有解为一切整数 …(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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