Question

如图，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b（a＞0，b≠0），且交抛物线y²=2px（p＞0）于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）两点．
（1）写出直线l的截距式方程；
（2）证明：+=；
（3）当a=2p时，求∠MON的大小．

Answer

（1）根据直线的截距式方程易知直线l的方程为+=1．
（2）欲证+=，即求的值，为此只需求直线l与抛物线y2=2px交点的纵坐标．由根与系数的关系易得y1+y2、y1y2的值，进而证得+=．
（3）设直线OM、ON的斜率分别为k1、k2，则k1=，k2=．因此k1k2===-1，所以OM⊥ON，即∠MON=90°．
（1）【解析】
直线l的截距式方程为+=1．①
（2）证明：由①及y2=2px消去x可得by2+2pay-2pab=0．②
点M、N的纵坐标y1、y2为②的两个根，故y1+y2=，y1y2=-2pa．
所以+===．
（3）【解析】
设直线OM、ON的斜率分别为k1、k2，
则k1=，k2=．
当a=2p时，由（2）知，y1y2=-2pa=-4p2，
由y12=2px1，y22=2px2，相乘得（y1y2）2=4p2x1x2，
x1x2===4p2，
因此k1k2===-1．
所以OM⊥ON，即∠MON=90°．