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已知f(x)、g(x)都是定义在R上的函数,若存在实数m、n使得h(x)=m•f...

已知f(x)、g(x)都是定义在R上的函数,若存在实数m、n使得h(x)=m•f(x)+n•g(x),则称h(x)为f(x)、g(x)在R上生成的函数.若f(x)=2cos2x-1,g(x)=sinx.
(1)判断函数y=cosx是否为f(x)、g(x)在R上生成的函数,并说明理由;
(2)记l(x)为f(x)、g(x)在R上生成的一个函数,若manfen5.com 满分网,且l(x)的最大值为4,求l(x).
(1)假设函数y=cosx是f(x)、g(x)在R上生成的函数,则存在实数m、n使得cosx=m(2cos2x-1)+nsinx,令x=0,得1=m+0①,令x=π,得-1=m②由①②进行推导即可判定 (2)由题意可设l(x)=a(2cos2x-1)+bsinx(a,b∈R),则由,可得a+b=4,即l(x)=-2asin2x+(4-a)sinx+a,设t=sinx,则函数l(x)可化为:y=-2at2+(4-a)t+a,t∈[-1,1],结合函数的性质求解函数的最大值即可 【解析】 (1)函数y=cosx不是f(x)、g(x)在R上生成的函数. 理由:假设函数y=cosx是f(x)、g(x)在R上生成的函数, 则存在实数m、n使得cosx=m(2cos2x-1)+nsinx 令x=0,得1=m+0① 令x=π,得-1=m② 由①②矛盾知:函数y=cosx不是f(x)、g(x)在R上生成的函数 (2)设l(x)=a(2cos2x-1)+bsinx(a,b∈R) 则,∴a+b=4,∴l(x)=-2asin2x+(4-a)sinx+a 设t=sinx,则函数l(x)可化为:y=-2at2+(4-a)t+a,t∈[-1,1] 当a=0时,函数化为:y=4t,t∈[-1,1] ∵当t=1时,ymax=4∴l(x)=4sinx,符合题意 当a>0时,函数化为: 当时,即时 ∵当t=1时,ymax=4-2a ∴由4-2a=4得a=0,不符合a>0舍去 当时,即或(舍去)时 ∵当时, ∴由,得a=4或(舍去) ∴b=0∴l(x)=4(2cos2x-1),符合题意 当时,即时,不符合a>0舍去 当a<0时,函数的对称轴 ∵当t=1时,ymax=4-2a ∴由ymax=4-2a=4得a=0,不符合a<0舍去 综上所述,l(x)=4sinx或l(x)=4(2cos2x-1)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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