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已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=ax-1,其中a>0且a...

已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=ax-1,其中a>0且a≠1,
(1)求f(2)+f(-2)的值;
(2)求f(x)的解析式;
(3)解关于x的不等式-1<f(x-1)<4,结果用集合或区间表示.
(1)由f(x)是定义在R上的奇函数,知f(2)+f(-2)=f(2)-f(2)=0. (2)当x<0时,-x>0,f(-x)=a-x-1,f(x)是定义在R上的奇函数,-f(x)=a-x-1,即f(x)=-a-x+1.由此能求出f(x)的解析式. (3)不等式等价于或.当a>1时,有或,此时不等式的解集为(1-loga2,1+loga5).同理可得,当0<a<1时,不等式的解集为R.由此能求出关于x的不等式-1<f(x-1)<4的解集. 【解析】 (1)∵f(x)是定义在R上的奇函数, ∴f(2)+f(-2)=f(2)-f(2)=0. (2)当x<0时,-x>0, ∴f(-x)=a-x-1, ∵f(x)是定义在R上的奇函数, ∴-f(x)=a-x-1,即f(x)=-a-x+1. ∴. (3)不等式等价于或. 当a>1时,有或,注意此时loga2>0,loga5>0. 可得此时不等式的解集为(1-loga2,1+loga5). 同理可得,当0<a<1时,不等式的解集为R. 综上所述,当a>1时,不等式的解集为(1-loga2,1+loga5). 当0<a<1时,不等式的解集为(-∞,+∞).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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