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如图所示,已知圆C:(x+1)2+y2=8,顶点A(1,0),M为圆上一动点,点...

如图所示,已知圆C:(x+1)2+y2=8,顶点A(1,0),M为圆上一动点,点P在AM上,点N在CM上,且满足manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网=0,点N的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)过点A且倾斜角是45°的直线l交曲线E于两点H、Q,求|HQ|.

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(1)利用线段垂直平分线的性质推出 NC+NM=r=2>AC,再利用椭圆的定义知,点N的轨迹是以A、C 为焦点的椭圆,利用待定系数法求出椭圆的方程. (2)点斜式写出直线l方程,代入曲线E的方程,转化为一元二次方程,利用根与系数的关系和弦长公式求出|HQ|. 【解析】 (1)设点N的坐标为(x,y),∵,∴点P为AM的中点, ∵=0,∴NP⊥AM,∴NP是线段AM的垂直平分线,∴NM=NA, 又点N在CM上,设圆的半径是 r,则 r=2, ∴NC=r-NM,∴NC+NM=NC+NA=r=2>AC,∴点N的轨迹是以A、C 为焦点的椭圆, ∵2a=2,c=1,∴b=1,∴椭圆  +y2=1,即曲线E的方程:+y2=1. (2)∵过点A且倾斜角是45°的直线l交曲线E于两点H、Q,∴直线l方程为 y-0=x-1, 代入曲线E的方程得:3x2-4x=0,∴x1+x2=,x1•x2=0, 由弦长公式得:|HQ|=•=,
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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