Question

设关于x的一元二次方程ax²+x+1=0（a＞0）有两个实根x₁，x₂，
（1）求（1+x₁）（1+x₂）的值；
（2）求证：x₁＜-1且x₂＜-1；（3）若，试求a的最大值．

Answer

（1）由已知中关于x的一元二次方程ax2+x+1=0（a＞0）有两个实根x1，x2，由韦达定理可得x1+2=-，x1•x2=，代入（1+x1）（1+x2）的展开式，即可求出（1+x1）（1+x2）的值．
（2）由已知结合一元二次方程根的个数与△符号的关系，可得△≥0，进而可以判断出a的取值范围，进而判断出f（-1）=a＞0，进而得到x1＜-1且x2＜-1；
（3）结合（1）（2）的结论，我们可以给出a的表达式，进而根据二次函数的性质，得到a的最大值．
【解析】
（1）∵关于x的一元二次方程ax2+x+1=0（a＞0）有两个实根x1，x2，
由韦达定理可得x1+2=-，x1•x2=，
（1+x1）（1+x2）=1+x1+x2+x1•x2=1-+=1
（2）由方程的△≥0，可推得二次函数f（x）=ax2+x+1图象的对称轴
，又由于f（-1）=a＞0，
所以f（x）的图象与x轴的交点均位于（-1，0）的左侧，故得证；
（3）结合（1）的结论可得，，
而+．
所以a的最大值为．